Доказана теорема о точках совпадения двух отображений, действующих в пространствах, наделённых векторной метрикой. В качестве приложений получены достаточные условия существования решения обыкновенного дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной неизвестной функции, и условия локальной разрешимости управляемой системы со смешанными ограничениями.