В банаховой алгебре дифференцированиями называются линейные ограниченные операторы, удовлетворяющие правилу Лейбница. С точки зрения приложений интересен вопрос описания алгебры таких дифференцирований в следующем смысле. Важным примером дифференцирований являются так называемые внутренние дифференцирования, задаваемые как коммутатор x → [a,x]. Такие дифференцирования образуют иде- ал. Факторалгебру по этому идеалу называют внешними дифференцированиями. Так что в самом общем виде вопрос можно поставить как описание алгебры внешних дифференцирований банаховой алгебры. В случае групповых алгебр хорошо известна так называемая Гипотеза Джонсона о тривиальности алгебры внешних дифференцирований в алгебре L_1(G). Банаховы алгебры допускают и другие нормировки. Кроме того, могут быть рассмотрены полугрупповые алгебры, например, порождаемые мальцевскими полугруппами. Мы опираемся на ранее предложенный метод, который состоит в отождествлении дифференцирований с характерами группоида присоединенного действия. Это позволяет свести задачу описания дифференцирований к изучению достаточно просто устроенных векторных пространств. А вопрос тривиальности внешних дифференцирований сводится к ответу на вопрос о совпадении некоторых пространств. Таким методом в цитированных работах уже было построено описание дифференцирований в групповом кольце (т. е. без замыкания по норме). Полезно воспользоваться также конструкцией квазивнутренних дифференцирований, т. е. дифференцирований, порождаемых характерами тривиальными, на петлях. Такие дифференцирования образуют идеал, содержащий в себе внутренние дифференцирования. Факторалгебру по квазивнутренним мы будем называть квазивнешними дифференцированиями.