Рассматривается неравенство Лежанского-Поляка-Лоясевича для вещественно-аналитической функции на вещественно-аналитическом компактном многообразии без края в конечномерном евклидовом пространстве. Неравенство возникло независимо в 1963 году в работах трёх авторов: Лежанского и Лоясевича из Польши и Поляка из СССР. Оно оказалось очень полезным инструментом для исследования сходимости градиентных методов, первоначально в безусловной оптимизации, а в течение последних нескольких десятилетий и в задачах условной оптимизации. Главным образом оно применяется для гладких в определенном смысле функций на гладких в определенном смысле многообразиях. Мы предлагаем вывод неравенства из условия ограничения ошибки степенного типа на компактном вещественно-аналитическом многообразии.