В статье исследуется антипериодическая краевая задача для неявного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения f(t,x,x')=0, x(0) +x(τ)=0. Предполагается, что отображение f, определяющее рассматриваемое уравнение, является гладким и удовлетворяет условию равномерной невырожденности первой производной. Предположение равномерной невырожденности выполняется, в частности, для отображения f, определяющего нормальное обыкновенное дифференциальное уравнение. Для неявных уравнений получены достаточные условия существования решения антипериодической краевой задачи и найдены оценки решений. Сформулированы следствия для нормальных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для доказательства основного результата исходное неявное уравнение сводится к нормальному дифференциальному уравнению за счет применения нелокальной теоремы о неявной функции. Затем в работе доказывается вспомогательное утверждение о разрешимости уравнения x+ψ(x) =0, представляющее собой аналог теоремы Брауэра о неподвижной точке. Показывается, что отображение ψ, ставящее произвольной начальной точке значение решения задачи Коши в точке τ, корректно определено и удовлетворяет предположениям вспомогательного утверждения, что доказывает существование решения исходной краевой задачи.