В статье исследуется задача оптимизации с ограничениями типа равенства. Предполагается, что минимизирующая функция и функции, задающие ограничения, дифференцируемы по Фреше, множество допустимых точек непусто и минимизирующая функция ограничена снизу на множестве допустимых точек. При этих предположениях получаем оценку производной функции Лагранжа. Кроме того, мы доказываем существование минимизирующей последовательности и последовательности единичных множителей Лагранжа таких, что соответвствующая последовательность значений производной функции Лагранжа стремится к нулю. Этот результат является обобщением известного утверждения о том, что для ограниченной дифференцируемой снизу функции существует минимизирующая последовательность, на которой значения производной функции стремятся к нулю. В качестве вспомогательного средства изучено свойство накрывания по направлению отображений между нормированными пространствами. Получены достаточные условия накрывания по направлению для дифференцируемых по Фреше отображений.